回顾：
定义1.1：
设{
a
n
a_{n}
an}。是一个数列, a是一个实数, 如果对于任意给定的
ε
>
0
\varepsilon>0
ε>0，存在一个
N
∈
N
∗
N \in \mathbf{N}^{*}
N∈N∗，使得凡是n>N时都有
∣
a
n
−
a
∣
<
ε
\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon
∣an−a∣<ε , 就说数列{
a
n
a_{n}
an}，当n趋向无穷大时以a为极限，记成
lim
x
→
∞
a
n
=
a
\lim _{x \rightarrow \infty} a_{n}=a
x→∞liman=a 也可以简记为
a
n
→
a
(
n
→
∞
)
a_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)
an→a(n→∞).我们也说数列{
a
n
a_{n}
an}收缴于a.存在极限的数列称为收敛数列. 不收敛的数列称为发散数列.
定义1.2：
数列{
a
n
a_{n}
an}： 当
n
→
∞
n \rightarrow \infty
n→∞时收敛于实数 a 是指：对任意的
ε
>
0
\varepsilon>0
ε>0，总存在
N
∈
N
∗
N \in \mathbf{N}^{*}
N∈N∗，使得这数列中除有限多项
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}
a1,a2,⋯,an可能是例外，其他的项均落在a的
ε
\varepsilon
ε-邻域中.（我们称关于a对称的开区间
(
α
−
ε
,
α
+
ε
)
(\alpha-\varepsilon, \alpha+\varepsilon)
(α−ε,α+ε) 为a的
ε
\varepsilon
ε-邻域）。
定理1.1：
如果数列{
a
n
a_{n}
an}收敛，则它只有一个极限，也就是说，收敛数列的极限是惟一的.
定义1.3：
设{
a
n
a_{n}
an}是一个数列，如果存在一个实数A，使得
a
n
⩽
A
a_{n} \leqslant A
an⩽A 对一切
N
∈
N
∗
N \in \mathbf{N}^{*}
N∈N∗成立，则称{
a
n
a_{n}
an}是有上界的，A是这数列的一个上界. 类似地，可以定义有下界的数列. 如果数列{
a
n
a_{n}
an}既有下界又有上界，则称它是一个有界数列。 非常明显的是，数列{
a
n
a_{n}
an}是有界数列必须且只须它的各项全都包含在同一个有限的区间之内.
定理1.2：
收敛数列必是有界的。
证明：当n>N时有
∣
a
n
−
a
∣
<
1
\left|a_{n}-a\right|<1
∣an−a∣<1，于是
∣
a
n
∣
=
∣
a
n
−
a
+
a
∣
⩽
∣
a
n
−
a
∣
+
∣
a
∣
<
1
+
∣
a
∣
\left|a_{n}\right|=\left|a_{n}-a+a\right| \leqslant\left|a_{n}-a\right|+|a|<1+|a|
∣an∣=∣an−a+a∣⩽∣an−a∣+∣a∣<1+∣a∣
若令
M
=
∣
a
1
∣
+
∣
a
2
∣
+
⋯
+
∣
a
N
∣
+
∣
a
∣
+
1
M=\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\dots+\left|a_{N}\right|+|a|+1
M=∣a1∣+∣a2∣+⋯+∣aN∣+∣a∣+1，则对一切
N
∈
N
∗
N \in \mathbf{N}^{*}
N∈N∗有
∣
a
n
∣
<
M
\left|a_{n}\right| ∣an∣ 定义1.4： 设{ a n a_{n} an}是一个数列， k i ∈ N ∗ ( i = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) k_{i} \in \mathbf{N}^{*}(i=1,2,3, \cdots) ki∈N∗(i=1,2,3,⋯)且满足 k 1 < k 1 < k 3 ⋯ k_{1} k1 { a k n } \left\{a_{k_{n}}\right\} {akn}叫做{ a n a_{n} an}的一个子列. 由这个定义，{ a n a_{n} an}自身也可以看作是{ a n a_{n} an}的子列. 定理1.3 ： 设收敛数列{ a n a_{n} an}的极限是a，那么{ a n a_{n} an}的任何子列都收敛到a. 启发：这个定理告诉我们：如果数列l{ a n a_{n} an}的两个子列收敛于不同的极限，那么数列{ a n a_{n} an}是发散的.这个结论通常被用来证明某个数列是发散的，考察数列 ( − 1 ) n \left( -1 \right) ^n (−1)n ，显然它是一个有界的数列，但它不是一个收敛数列. 这是因为它的奇数位置上的所有项组成的子数列的极限是1，而偶数位置上的所有项组成的子数列的极限是-1. 定理1.4： 极限的四则运算：设{ a n a_{n} an}与{ b n b_{n} bn}。都是收敛数列，则 ∣ a n ± b n ∣ \left|a_{n} \pm b_{n}\right| ∣an±bn∣， ∣ a n b n ∣ \left|a_{n} b_{n}\right| ∣anbn∣，也是收敛数列。如果 lim x → ∞ b n ≠ 0 \lim _{x \rightarrow \infty} b_{n} \neq 0 limx→∞bn=0，则 { a e b n → } \left\{\begin{array}{l}{a_{e}} \\ {\overrightarrow{b_{n}}}\end{array}\right\} {aebn }也收敛，并且 lim x → ∞ ( a n ± b n ) = lim n → ∞ a n ± lim n → ∞ b n \lim _{x \rightarrow \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \pm \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} x→∞lim(an±bn)=n→∞liman±n→∞limbn lim n → ∞ a n b n = lim n → ∞ a n ⋅ lim n → ∞ b n \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} n→∞limanbn=n→∞liman⋅n→∞limbn lim a → ∞ a n b n = lim n → ∞ a n lim n → ∞ b n ( lim n → ∞ b n ≠ 0 ) \lim _{a \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}}{\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \neq 0\right) a→∞limbnan=limn→∞bnlimn→∞an(n→∞limbn=0) 做题经验1.1: 利用已知的一些简单的收敛数列，借助于上述四则运算性质，便可计算更复杂的一些数列的极限，而不需要使用“ ε − N \varepsilon-N ε−N推理”. eg1: lim x → ∞ 2 n 2 − 3 n + 4 5 n 2 + 4 n − 1 \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}-3 n+4}{5 n^{2}+4 n-1} x→∞lim5n2+4n−12n2−3n+4 定义1.5 ： 如果收敛数列{ a n a_{n} an}的极限等于0，那么这个数列称为无穷小数列，简称无穷小. 定理1.5 ： 关于无穷小，有以下的定理： { a n a_{n} an}为无穷小的必要充分条件是{| a n ∣ a_{n}| an∣}是无穷小；两个无穷小之和（或差）仍是无穷小；设{ a n a_{n} an}为无穷小，{ c n c_{n} cn}为有界数列，那么。 ∣ c n a n ∣ \left|c_{\mathrm{n}} a_{\mathrm{n}}\right| ∣cnan∣也是无穷小；设 0 ⩽ a n ⩽ b n , n ∈ N ∗ 0 \leqslant a_{n} \leqslant b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*} 0⩽an⩽bn,n∈N∗，如果{ b n b_{n} bn}为无穷小，那么{ a n a_{n} an}也是无穷小； lim x → ∞ a 0 = a \lim _{x \rightarrow \infty} a_{0}=a limx→∞a0=a的必要充分条件是 ∣ a n − a ∣ \left|a_{n}-a\right| ∣an−a∣是无穷小. 定理1.6 ： 设 a n ⩽ b n ⩽ c n , n ∈ N ∗ a_{n} \leqslant b_{n} \leqslant c_{n}, n \in \mathbf{N}^{*} an⩽bn⩽cn,n∈N∗ 且 lim x → ∞ a x = lim n → ∞ c n = a \lim _{x \rightarrow \infty} a_{x}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=a x→∞limax=n→∞limcn=a 则 lim x → ∞ b n = a \lim _{x \rightarrow \infty} b_{n}=a x→∞limbn=a 定理1.7 ： 设 lim n → ∞ a n = a , α , β \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \alpha, \beta limn→∞an=a,α,β 满足 α < a < β \alpha α a n > α a_n>\alpha an>α 同样，当n 充分大时有： a n < β a_n<\beta an<β 设 lim n → ∞ a n = a , lim n → ∞ b n = b \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b limn→∞an=a,limn→∞bn=b 且a a n < b n a_{n} an 设 lim n → ∞ a n = a , lim n → ∞ b n = b \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b limn→∞an=a,limn→∞bn=b 且当n充分大时 a n < b n a_{n} an a ≤ b a\le b a≤b common MATLAB functions relating to limits %% Calculates the limit of the sequence, indicated by its general term, %% as n tends to infinity syms n limit(((2*n-3)/(3*n-7))^4, n,inf) %% Calculates the limit of the function of the variable x, as the variable x tends towards the value a limit((x-1)/(x^(1/2)-1),1) %% Calculates the limit of the function of the variable x, as the variable x tends towards the value a syms x limit((x-1)/(x^(1/2)-1),x,1) %% Calculates the limit of the function of the variable x, indicated by its analytical expression, as the variable x tends to a from the right syms x limit((exp(1/x)),x,0,'right') %% Calculates the limit of the function of the variable x, indicated by its analytical expression, as the variable x tends to a from the left >> limit((exp(1/x)),x,0,'left') %% 总结matlab的极限函数： limit (sequence, inf) limit(function, x, a) limit(function, a) limit (function, x, a,‘right’) limit (function, x, a, ‘left’) 练习： >> syms n >> limit(((n+3)/(n-1))^n, inf) ans = exp(4) >> limit((1-2/(n+3))^n, inf) ans = 1/exp(2) >> limit((1/n)^(1/n), inf) ans = 1 >> limit(((n+1)^(1/3)-n^(1/3))/((n+1)^(1/2)-n^(1/2)),inf) ans = 0 >> limit((n^n*exp(-n)*sqrt(2*pi*n))/n^n, n,inf) ans = 0 >> limit(abs(x)/sin(x),x,0) ans = NaN >> syms x >> limit(abs(x)/sin(x),x,0) ans = NaN >> limit(abs(x)/sin(x),x,0,'left') ans = -1 >> limit(abs(x)/sin(x),x,0,'right') ans = 1 >> limit(abs(x^2-x-7),x,3) ans = 1 >> limit((x-1)/(x^n-1),x,1) ans = 1/n >> limit(exp(1)^(1/x),x,0) ans = NaN 原文阅读 关于作者： 公众号：从零归一。所有数学资源和自身总结可以关注公众号，回复“数学”，免费下载。